La probabilidad está siempre presente?

    

El concepto de probabilidad  : Por definición, entonces, la probabilidad se mide por un número entre cero y uno: si un suceso no ocurre nunca, su probabilidad asociada es cero, mientras que si ocurriese siempre su probabilidad sería igual a uno. Así, las probabilidades suelen venir expresadas como decimales, fracciones o porcentajes.

La definición anterior de probabilidad corresponde a la conocida como definición frecuentista. Existe otra descripción más formal desde el punto teórico que permite definir el concepto de probabilidad mediante la verificación de ciertos axiomas a partir de los que se deducen todas las demás propiedades del cálculo de probabilidades. En otros contextos, se ha defendido una interpretación más amplia del concepto de probabilidad que incluye las que podemos denominar probabilidades subjetivas o personales, mediante las cuales se expresa el grado de confianza o experiencia en una proposición. Esta definición constituye la base de los llamados métodos bayesianos, que se presentan como alternativa a la estadística tradicional centrada en el contraste de hipótesis. No obstante, y en relación con el propósito de este trabajo, bastará con considerar la definición frecuentista anterior. Así, a partir de una población con N elementos, de los cuales k presentan una característica  A, se estimará la probabilidad de la característica A como P(A) = k/N. Así, por ejemplo, en una población de 100 pacientes, 5 de los cuales son diabéticos, la probabilidad de padecer diabetes p(Diabetes) se estimará como el cuociente 5/100= 0.5.

Es conveniente conocer algunas de las propiedades básicas del cálculo de probabilidades:

·        Para un suceso A, la probabilidad de que suceda su complementario (o equivalentemente, de que no suceda A) es igual a uno menos la probabilidad de A:
donde  denota al suceso contrario o suceso complementario de A.

·        Si un fenómeno determinado tiene dos posibles resultados A y B mutuamente excluyentes (es decir, que no pueden darse de forma simultánea, como ocurre en el lanzamiento de una moneda al aire), la probabilidad de que una de esas dos posibilidades ocurra se calcula como la suma de las dos probabilidades individuales: P(AóB) = P(A)+P(B)

La extensión de la ley aditiva anterior al caso de más de dos sucesos mutuamente excluyentes A, B, C... indica que:P(AóBóCó)=P(A)+P(B)+P(C)+...

Consideremos, como ejemplo, un servicio de urología en el que el 38,2% de los pacientes a los que se les practica una biopsia prostática presentan una hiperplasia benigna (HB), el 18,2% prostatitis (PR) y en un 43,6% el diagnóstico es de cáncer (C). La probabilidad de que en un paciente que se somete a una biopsia de próstata no se confirme el diagnóstico de cáncer prostático será igual a:

 P(HBóPR)=P(HB)+P(PR)=0,328+0,182=0,564

Es decir, en un 56,4% de los casos se logra descartar un diagnóstico maligno. De modo equivalente, la probabilidad anterior podría haberse calculado como la probabilidad del suceso contrario al del diagnóstico de cáncer:

 P(HBóPR) = P(C)=1-P(C)= 1-0,436=0,564

Nótese la importancia del hecho de que los sucesos anteriores sean mutuamente excluyentes. Sin esta condición, la ley de adición no será válida. Por ejemplo, se sabe que en una determinada Unidad de Cuidados Intensivos (UCI) el 6,9% de los pacientes que ingresan lo hacen con una infección adquirida en el exterior, mientras que el 13,7% adquieren una infección durante su estancia en el hospital. Se conoce además que el 1,5% de los enfermos ingresados en dicha unidad presentan una infección de ambos tipos. ¿Cuál será entonces la probabilidad de que un determinado paciente presente una infección de cualquier tipo en UCI? Para realizar el cálculo, si se suman simplemente las probabilidades individuales (0,069+0,137) la probabilidad de un suceso doble (infección comunitaria y nosocomial) se estará evaluando dos veces, la primera como parte de la probabilidad de padecer una infección comunitaria y la segunda como parte de la probabilidad de adquirir una infección en la UCI. Para obtener la respuesta correcta se debe restar la probabilidad del doble suceso. Así:

·        Si un fenómeno determinado tiene dos posibles resultados A y B, la probabilidad de que una de esas dos posibilidades ocurra viene dada, en general, por la expresión:  P(AóB)=P(A)+P(B)-P(AyB)

 Por lo tanto, si dos o más sucesos no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno de ellos o ambos se calcula sumando las probabilidades individuales de que ocurra una de esas circunstancia, pero restando  la probabilidad de que ocurra la común.Resulta evidente que, para el caso de procesos mutuamente excluyentes, P(AyB)=0 y se obtiene (1).

En el ejemplo anterior, la probabilidad de infección en UCI vendrá dada, por lo tanto, como: P(AóB)=0,069+0,137-0,015=0,191

Es decir, 19 de cada 100 enfermos registrará alguna infección (ya sea de tipo comunitario o nosocomial) durante su ingreso en la citada unidad.A veces, la probabilidad de que un determinado suceso tenga lugar depende de que otro suceso se haya producido o no con anterioridad. Esto es, en ocasiones el hecho de que se produzca un determinado fenómeno puede hacer más o menos probable la aparición de otro. Este tipo de probabilidades se denominan probabilidades condicionadas, y se denotará por P(A/B) a la probabilidad condicionada del suceso A suponiendo que el suceso B haya ocurrido ya.

 ·        La ley multiplicativa de probabilidades indica que la probabilidad de que dos sucesos A y B ocurran simultáneamente es igual a:

P(AyB)=P(A/B)*P(B).

La ley multiplicativa anterior se utiliza también con el fin de determinar una probabilidad condicional  P(A/B)a partir de los valores de  yP(B) :

P(AyB)=P(AyB)/P(B).